Развертка усеченного конуса. формула площади и пример решения задачи

Как определить уклон

Для определения уклона достаточно воспользоваться всего одной формулой. Как ранее было отмечено, существенно упростить задачу можно при построении прямоугольного треугольника. Среди особенностей подобной работы отметим следующие моменты:

1. Определяется начальная и конечная точка отрезка. В случае построения сложной фигуры она определяется в зависимости от особенностей самого чертежа.
2. Проводится вертикальная линия от точки, которая находится выше. Она позволяет построить прямоугольный треугольник, который часто используется для отображения уклона.
3. Под прямым углом проводится соединение вспомогательной линии с нижней точкой.
4. Угол, который образуется между вспомогательной и основной линией в нижней точке высчитывается для определения наклона.

Формула, которая требуется для вычисления рассматриваемого показателя указывалась выше. Стоит учитывать, что полученный показатель также переводится в градусы.

Презентация на тему: » Конус Понятие конуса Понятие конуса Площадь поверхности конуса Площадь поверхности конуса Усечённый конус Усечённый конус.» — Транскрипт:

1

Конус Понятие конуса Понятие конуса Площадь поверхности конуса Площадь поверхности конуса Усечённый конус Усечённый конус

2

Понятие конуса Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой поверхности. Через точку Р и каждую точку окружности проведём прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности. L О Р

3

Точка Р называется вершиной, а прямая ОР – осью конической поверхности. Понятие конуса L О Р вершина ось конической поверхности

4

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Конус О L

5

Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности – вершиной конуса, отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса. Конус О L

6

Конус О L Р ось конуса вершина конуса образующие конуса боковая поверхность конуса основание конуса

7

Ось конической поверхности называется осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием, — высотой конуса.Конус О L Р ось конуса высота конуса

8

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Получение конуса

9

Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Это сечение называется осевым. Сечение конуса О Р

10

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О 1, расположенным на оси конуса. Радиус r 1 этого круга равен, где r – радиус основания конуса. Сечение конуса Р О М r О1О1 М1М1 r1r1

11

Проводя различные сечения одного и того же кругового конуса, причём любого, можно получить эллипс, параболу и гиперболу. При надлежащем наклоне секущей плоскости удаётся получить все типы конических сечений. Если считать, что конус не заканчивается в вершине, а простирается за неё, тогда у некоторых сечений образуются две ветви. Сечение конуса

12

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Площадь боковой поверхности конуса Развёртка боковой поверхности конуса: А В Р А L А В Р L r

13

Выразим через L и r. Так как длина дуги АВА равна, то, откуда Площадь боковой поверхности конуса А В Р А L Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

14

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Площадь полной поверхности конуса А В Р L r S кон = r 2 + rL S кон = r(r + L)

15

Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей (верхняя) представляет собой конус, а другая называется усечённым конусом. Усечённый конус Р О О1О1 конус усечённый конус

16

Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса, а отрезок, соединяющий их центры, — высотой усечённого конуса. Усечённый конус О1О1 r1r1 r О основание высота

17

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Усечённый конус О1О1 r1r1 r О боковая поверхность образующие

18

Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. Получение усечённого конуса A B C D Усечённый конус получен вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD.

19

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую: где r и r 1 – радиусы оснований, L – образующая усечённого конуса. Площадь боковой поверхности усечённого конуса О1О1 r1r1 r О L

Усеченный геометрический объект

Усеченная фигура представляет собой объект в пространстве, который состоит из двух оснований разной площади и конической боковой поверхности. В отличие от исходного конуса, его усеченный вариант не имеет вершины. Остальные линейные элементы для него такие же, как для конуса с вершиной. У усеченной фигуры также имеется две директрисы, ограничивающие каждое из оснований, и одна генератриса, которая опирается на линии направляющих кривых.

Рассматриваемый геометрический объект также бывает нескольких видов (эллиптический, наклонный). Чаще всего в задачах по геометрии встречается именно круглый прямой усеченный конус, который ограничен двумя круглыми основаниями.

Способы построения

Можно выделить два основных способа построения усеченного круглого геометрического объекта:

• из круглого прямого конуса;
• с помощью трапеции.

В первом случае необходимо взять коническую фигуру и режущую плоскость, которая будет параллельна основанию. После этого с помощью плоскости следует отсечь верхнюю часть конуса. Оставшаяся под плоскостью фигура будет усеченной

Следует отметить, что совершенно неважно, какая часть конуса с вершиной будет отсечена. Чем больше она будет, тем ближе окажутся друг к другу значения верхнего и нижнего радиусов в усеченной фигуре, то есть тем ближе она по форме будет походить на прямой цилиндр.

Если прямоугольную трапецию поставить на большее основание и вращать ее вокруг перпендикуляра h, то получится усеченный конус. В нем отрезки a и b будут радиусами оснований объемной фигуры, перпендикуляр h станет высотой, а наклонный отрезок g будет представлять собой длину образующей. Эти четыре линейных характеристики определяют рассматриваемую объемную фигуру. Следует заметить, что для однозначного построения фигуры достаточно лишь трех любых из них, например, высоты и двух радиусов.

Площадь поверхности

Поверхность усеченной фигуры, в отличие от полного конуса, образована тремя частями: два круглых основания и боковая поверхность. Площади круглых оснований вычисляются по известной формуле для круга: pi*r2. Для боковой поверхности следует выполнить следующие действия:

Разрезать ее вдоль образующей и развернуть на плоскости.
Обратить внимание, что полученная фигура представляет собой сектор круга, у которого в верхней его части вырезан другой маленький сектор.
Достроить мысленно усеченную фигуру до полного конуса и определить его высоту H и директрису G. Через соответствующие параметры усеченного конуса они будут выражаться следующим образом: G = r1*g/(r1-r2), H = h*r1/(r1-r2), здесь радиусы оснований r1 и r2 такие, что r1>r2.
Рассчитать площади большого и маленького круговых секторов, а затем вычесть из первой вторую

В итоге получится следующая простая формула: Sb = pi*g*(r1 + r2).

Площадь всей поверхности рассматриваемой фигуры вычисляется как сумма трех величин S1, S2 и Sb:

S = S1 + S2 + Sb = pi*r12 + pi*r22 + pi*g*(r1 + r2).

Для определения величины S необходимо знать три линейных параметра усеченного конуса: радиусы оснований и длину генератрисы.

Формула объема

Для определения объема следует воспользоваться приемами, подобными тем, которые описаны в методике определения площади поверхности. Для начала следует усеченный конус достроить до полного, затем вычислить объемы фигур с высотами H и H-h по уже известной формуле. Разница этих объемов даст искомую формулу для усеченной фигуры с круглыми основаниями:

V = 1/3*pi*r12*H — 1/3*pi*r22*(H-h).

Подставляя в это выражение равенство для высоты H через линейные характеристики усеченной фигуры, можно получить конечную формулу:

V = 1/3*pi*h*(r12 + r22 + r1*r2).

Это выражение можно переписать не через линейные параметры, а через площади оснований фигуры S1 и S2:

V = 1/3*h*(S1 + S2 + (S1*S2)^0,5).

Записанная формула объема может быть получена универсальным способом без привлечения известного выражения для полного конуса. Для этого необходимо использовать интегральное исчисление, разбивая при этом усеченный геометрический объект на бесконечное количество тонких круглых дисков. Их радиусы будут постепенно уменьшаться от r1 до r2. Этот метод вывода формулы для объема не отличается от аналогичного для полного круглого конуса, изменяются лишь пределы интегрирования.

Как сделать конус из бумаги своими руками?

Материалы для создания полностью определяются тем, зачем делается конус. Самые простые варианты из обычного листа бумаги можно даже не склеивать – достаточно скрепить каким-нибудь зажимом. Если же предстоит соорудить красивую елочную игрушку или элемент декора, то лучше найти подходящую цветную бумагу или картон.

Для создания ровного конуса понадобится круглый лист.

Его можно сделать разными способами, например – вырезать из обычного, формата А4, обозначив требуемую зону циркулем. В случае, если циркуля под рукой не оказалось, стоит воспользоваться карандашом и веревкой. Нить должна равняться радиусу будущего круга. Её придерживают пальцем в центре листа в натянутом состоянии, а карандашом обводится окружность.

Как сделать конус из бумаги своими руками:

• На готовом круге нужно начертить две линии, чтобы получится крест, разделяющий лист на четыре ровные части.
• Затем одну из четвертей отрезают.
• Остается лишь сложить нужную форму и закрепить её с помощью клея или прищепок.

После этого конус готов, но, при желании, можно сделать для него дно. Для этого получившуюся фигуру ставят на лист бумаги. По ней обводят круг, но перед вырезанием к форме добавляют ещё примерно сантиметр. Из этого расстояния нужно создать зубчики, с помощью которых дно будет крепиться к конусу. Их промазывают клеем и прикрепляют.

При работе с тонкой бумагой можно делать конус из обычного прямоугольного листа. Для этого он закручивается, как показано на фото ниже, а затем лишний край отрезается. Иногда его можно использовать для создания основы конуса, или же бывает достаточным просто загнуть его вовнутрь.

Видео инструкция

Просто, интересно и весело мастерить поделки из конусов. Все потому, что самый обычный конус может превратиться в любую игрушку, зверушку, птицу, забавный предмет. Прикрепляя к конусу разные детали, а также скрепляя конусы между собой, можно создать целую коллекцию поделок, как игрушек, сувениров и вполне себе полезных предметов.

Чтобы создать конус следует начертить с помощью циркуля круг и разделить его на 4 части. Затем эти все сектора разрезаются, и из получившихся четвертинок сворачивается конус. Такой конус будет узким, а вот если отрезать больше четвертинки круга, получится пошире и сам конус.

Калькуляторы расчета размеров развертки конуса

Несколько слов о рассчитываемых параметрах

Понять принцип расчета будет несложно, разобравшись со следующей схемой:

Усеченный конус с определяющими размерами и его развёртка. Показан усеченный конус, но с полным — принцип не меняется, а расчеты и построение становятся даже проще.

Итак, сам конус определяется радиусами оснований (нижней и верхней окружности) R1 и R2, и высотой Н. Понятно, что если конус не усеченный, то R2 просто равно нулю.

Буквой L обозначена длина боковой стороны (образующей) конуса. Она в некоторых случаях уже известна – например, требуется сделать конус по образцу или выкроить материал для обтяжки уже имеющегося каркаса. Но если она неизвестна – не беда, ее несложно рассчитать.

Справа показана развёртка. Она для усеченного конуса ограничена сектором кольца, образованного двумя дугами, внешней и внутренней, с радиусами Rb и Rs. Для полного конуса Rs также будет равен нулю. Хорошо видно, что Rb = Rs + L

Угловую длину сектора определяет центральный угол f, который в любом случае предстоит рассчитать.

Все расчеты займут буквально минуту, если воспользоваться предлагаемыми калькуляторами:

Круглый конус в геометрии

Приведем геометрическое определение этой фигуры. Круглым конусом называется поверхность, которая образована прямыми отрезками, соединяющими все точки некоторой окружности с одной-единственной точкой пространства. Эта единственная точка не должна принадлежать плоскости, в которой лежит окружность. Если вместо окружности взять круг, то указанный способ также приводит к получению конуса.

Круг называется основанием фигуры, его окружность — это директриса. Отрезки, соединяющие точку с директрисой, называются генератрисами или образующими, а точка, где они пересекаются — это вершина конуса.

Круглый конус может быть прямым и наклонным. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.

Разница между ними заключается в следующем: если перпендикуляр из вершины конуса падает точно в центр окружности, то конус будет прямым. Для него перпендикуляр, который называется высотой фигуры, является частью его оси. В случае конуса наклонного высота и ось образуют некоторый острый угол.

Ввиду простоты и симметричности фигуры далее будем рассматривать свойства только прямого конуса с круглым основанием.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса через направляющую и радиусы его оснований

При нахождении площади боковую поверхность усеченного конуса целесообразней рассматривать как разность боковой поверхности конуса и боковой поверхности отсеченного конуса.
Пусть от данного конуса AMB отсекли конус A`MB`. Необходимо вычислить боковую площадь усеченного конуса AA`B`B. Известно, что радиусы его оснований AO=R, A`O`=r, образующая равна L.Обозначим MB` за x. Тогда боковая поверхность конуса A`MB` будет равна πrx. А боковая поверхность конуса AMB будет равна πR(L+x).
Тогда боковую поверхность усеченного конуса AA`B`B можно выразить через разность боковой поверхности конуса AMB и конуса A`MB`:
Треугольники OMB и O`MB`– подобны по равенству углов ∠{MOB} = ∠{MO`B`} и ∠{OMB} = ∠{O`MB`}. Из подобия этих треугольников следует:
Воспользуемся производной пропорции. Имеем:
Отсюда находим x:
Подставив это выражение в формулу площади боковой поверхности, имеем:
Таким образом, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению числа π на его направляющую и сумму радиусов его оснований.
Формула площади боковой поверхности усеченного конуса имеет следующий вид:

Пример расчета площади боковой поверхности усеченного конуса, если известны его радиус и образующая
Радиус большего основания, образующая и высота усеченного конуса равны 7, 5 и 4 см соответственно. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию, с основаниями 2R и 2r. Образующая усеченного конуса, являющаяся боковой стороной трапеции, высота, опушенная на большое основание и разность радиусов основания усеченного конуса, образуют египетский треугольник. Это прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. По условию задачи образующая равна 5, а высота – 4, тогда разность радиусов основания усеченного конуса будет равна 3.
Имеем:
L=5
R=7
R=4
Формула площади боковой поверхности усеченного конуса имеет следующий вид:
Подставив значения, имеем:

Понятие конуса

Построим на плос-ти α окруж-ть L с центром в точке О. Далее через О проведем перпендикуляр к α и отметим на нем точку Р. Если мы отрезками соединим точку Р с каждой точкой окруж-ти L, то получим поверх-ть, которая именуется конической поверхностью. При этом:

• прямая ОР – это ось конической поверх-ти;
• прямые, соединяющие Р с точками на окруж-ти L, именуются образующими конической поверх-ти;
• сама точка Р – это вершина конической поверх-ти.

Объемное тело, ограниченное окруж-тью L и конической поверх-тью, именуется конусом. Соответственно вершина конической поверх-ти, её ось и образующие будут одновременно являться вершиной, осью и образующими конуса. Окруж-ть L – это основание конуса.

Ещё несколько терминов:

• коническая поверх-ть конуса именуется его боковой поверх-тью;
• если же к этой площади прибавить ещё и площадь основания, то в итоге получится полная площадь конуса;
• отрезок ОР – это не только ось конуса, но и высота конуса.

Как и в случае с цилиндром, мы в данном случае рассматриваем особый случай конуса – прямой круговой конус. В более общем случае ось конуса может не быть перпендикуляром к плос-ти основания (так называемый косой конус). Также в его основании может находиться не окруж-ть, а другая плоская фигура.

В общем случае любая пирамида может рассматриваться как частный случай конуса. Однако в рамках школьного курса под конусом подразумевается исключительно прямой круговой конус, если только не обговорено иное.

Докажем важное утверждение:

Действительно, рассмотрим две произвольные образующие РА и РВ у конуса с вершиной Р, у которой О – центр основания:

Так как ось ОР перпендикулярна основанию, то ∆РОА и ∆РОВ – прямоугольные. У них общий катет РО, а катеты АО и ОВ одинаковы как радиусы окруж-ти. Тогда ∆РОА и ∆РОВ равны, поэтому одинаковы и образующие РА и РВ, ч. т. д.

Заметим, что конус получается при вращении прямоугольного треуг-ка вокруг его катета. Так, на следующем рисунке конус получается при вращении ∆РОА с прямым углом О относительно катета РО:

Если сечение конуса проходит через его ось, то оно именуется осевым сечением. Ясно, что это сечение будет являться треуг-ком, причем две его стороны – это образующие конуса, а третья сторона диаметр основания. Образующие конуса одинаковы, поэтому осевое сечение будет равнобедренным треуг-ком.

Теперь рассмотрим сечение, параллельное плос-ти основания. Пусть оно пересекает ось РО в какой-то точке О₁. Также пусть А₁ – точка пересечения образующей АР исходного конуса с секущей плос-тью α:

Заметим, что раз ось РО перпендикулярна основанию, то она также будет перпендикулярна и секущей плос-ти, ведь основание и плос-ть α параллельны. Тогда ∠РО₁А₁ будет прямым.

Теперь рассмотрим ∠РОА и ∠РО₁А₁. Они прямоугольные и у них есть общие угол ∠АРО. Значит, это подобные треуг-ки. Обозначим радиус ОА как r, а длину А₁О₁ как r₁. Тогда из подобия получаем:

Рассмотрим теперь другую образующую ВР, которая пересекает секущую плос-ть в точке В₁. Отрезки АО и ОВ одинаковы. Повторяя предыдущие рассуждения, легко доказать подобие ∆РОВ и ∆РО₁В₁, откуда можно вычислить длину О₁В₁:

Получили, что точки А₁и В₁ находятся на одинаковом расстоянии r₁ от точки О₁. Мы выбрали точки А и В произвольно, поэтому для любых двух точек, принадлежащих сечению конуса, можно утверждать, что они равноудалены от точки О₁. Это значит, что все точки сечения лежат на окруж-ти с центром в точке О₁ и радиусом r₁, то есть сечение имеет форму окруж-ти.

Как определить площадь боковой поверхности конуса? Для этого ее надо «разрезать» вдоль одной из образующих и развернуть на плос-ти. В результате получится круговой сектор.

Напомним, что площадь сектора может быть рассчитана по формуле

Теперь обозначим длину образующей буквой l, а радиус основания конуса как r. Тогда

Для вычисления полной площади конуса к боковой поверх-ти необходимо добавить ещё и площадь основания:

Колпак на трубу дымохода — своими руками, чертеж и цена

Украшение дымоходов художественно оформленными и совсем простыми колпаками – давняя русская традиция. Особенно это бросается в глаза при посещении дачных кооперативов. Даже трубы самых скромных домиков украшены резными навершиями и флюгарками.

Это устройство не только украшение – оно имеет и чисто функциональное назначение и не одно.

Колпак – не единственное наименование этих устройств, они могут называться также:

• зонт на дымоход;
• грибок на дымоход;
• дымник;
• оголовок
• навершие;

Разумеется, это не полный перечень. Есть еще много разных обозначений.

Похожая конструкция еще называется «флюгаркой», говоря как о подставке для флюгера.

Однако, прежде всего, важно функциональное назначение этих устройств:

1. Защита дома от влаги различного происхождения.
2. Защита дымохода от попадания внутрь посторонних предметов, птиц, мусора и прочее.
3. Усиление тяги в дымоходе за счет целевого направления воздушных потоков.

Навершие на трубу дымохода может быть устроено в виде зонтика или домика с различными формами крыш, может быть вообще представлено в виде причудливых сооружений. Лишь бы оно исполняло свои защитные и вспомогательные функции.

Флюгарка

Конструкция колпаков зависит от формы трубы, которая может быть квадратной, прямоугольной или круглой. Также, имеет значение форма крыши, углы наклона ее элементов и даже господствующее направление ветровых потоков («роза ветров»).

Колпаки условно можно разделить на такие виды:

1. Стандартная флюгарка (напоминает домик с 4 скатной крышей).
2. Зонтик на трубы дымохода – применяется как навершие для круглых дымовых труб.
3. Колпак на трубу дымохода с плоским навершием.
4. Флюгарки с щипцовой крышей.
5. Колпак с полукруглой крышей.
6. Колпак с открывающейся крышкой.

Возможны различные конструктивные решения для колпаков, применяются различные материалы для их изготовления. Но важна их защитная функция от попадания в трубу снега, воды, посторонних предметов, птиц.

Материалы для изготовления

Для изготовления колпаков применяются различные листовые материалы. В ряде случаев, применяются остатки материалов кровли (фальцевой), где применяются листовые кровельные материалы.

Основными материалами для колпаков являются:

• листовая сталь;
• листовой алюминий;
• медный лист;
• лист из нержавеющей стали;
• лист их цинко-титанового сплава;

Долговечность применяемых материалов различна. Колпаки из стали служат обычно от 2 до 5 лет. Листовой алюминий – 5-8 лет. Наиболее долговечны навершия из нержавеющей стали, меди и цинко-титанового сплава. Срок их службы может достигать 50 – 100 лет.

Медные колпаки с плоскими крышами обычно применяют на трубах домов, построенных в стиле «модерн». Для дома в европейском стиле, устанавливают колпаки с полукруглым навершием.

Колпаки с щипцовой крышей применяют в случаях, когда дымовая труба выполняет еще и функцию вентиляционной. Навершия с открывающейся крышкой удобны для чистки дымовой трубы от сажи. Чаще всего, такая необходимость возникает при использовании в качестве топлива дров или торфяных брикетов.

Технология гибки листового металла своими руками

В процессе строительства дома или дачи зачастую появляется необходимость в оборудовании водостоков, канализации, каркасов из металла.

При изготовлении подобных изделий необходимо придать плоской заготовке необходимую пространственную форму. Советы опытных мастеров, как загнуть лист металла в домашних условиях, позволят изготавливать конструкции хорошего качества, которые прослужат долгое время.

Технология гибки – основные сведения

Сгибание металла выполняют без сварочных швов, что позволяет избежать коррозии в дальнейшем и получить изделие повышенной прочности. Деформация не требует значительных усилий и выполняется, как правило, в холодном состоянии.

Исключение составляют твердые материалы, вроде дюрали или углеродистых сталей. Технология гибки листового металла разрабатывается соответственно поставленным задачам в таких вариантах, как:

• радиусная,
• многоугловая,
• одноугловая,
• п-образная.

Роликовые вращатели самоцентрирующиеся INZT 10 E

Линейная скорость, мм/мин 100-1000 Диаметр заготовки, мм 500-3600 Размер роликов, мм 250х100

предлагает свои услуги по вальцовке металла с применением современного высокотехнологичного оборудования. Суть этой технологической операции состоит в холодном деформировании листовых материалов на специальных станках вдоль заданного направления. В процессе вальцевания листа металла он проходит или прокатывается между несколькими валами и происходит его подгибание до требуемого радиуса. Мы обеспечиваем комплексный подход к решению самых разных технических задач заказчика – любого уровня сложности и масштабов. Отличное оснащение производственной площадки, использование станков с ЧПУ и мастерство наших специалистов – все это служит гарантией успеха и высокого качества работ.

Услуги вальцовки недорого

Компания предоставляет услуги вальцовки по ценам

, наиболее приемлемым в Москве. На заказ мы качественно выполним любые объемы работ, в том числе в промышленных масштабах. Изготовим изделия в точности, соответствующие чертежам заказчика. Работы выполняются в оговоренные сроки, без нарушения графиков. Для вальцовки у нас имеется технологически современное оборудование и опытные специалисты, которые относятся к своей работе с максимальной степенью ответственности. Производим вальцевание тонколистового и пруткового металла. Осуществляем вальцовку кромок листа и углов с точным радиусом закругления.

Другие конусы, применяемые в машиностроении

Конусность 1:50 имеют установочные штифты, применяемые при необходимости дополнительного скрепления двух деталей, зафиксированных резьбовым соединением, чтобы они не могли перемещаться одна относительно другой. Установочные штифты вставляются в отверстия, просверленные и конически развернутые одновременно в обеих деталях, после их сборки. Конусность 1:50 соответствует углу уклона 0°34′.

Конус 1:16

Резьба обсадных труб 6 5/8″, бурильных и насосно-компрессорных труб, резьба трубная коническая общего назначения.

Конус 1:10

Концы валов электрических и других машин и соответствующие им муфты. ГОСТ 12081-72.

Центры упорные и конусы инструментов для тяжелых станков. ГОСТ 7343—72.

Отверстия под заклепки в котельных листах, мостовых и корабельных конструкциях (т. н. котельный конус).

Конус 1:1,866

Центры станков, центровые отверстия, потайные и полупотайные головки заклёпок диаметром 16—25 мм, потайные головки винтов диаметром 22—24 мм.

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

1. Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
2. Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S. Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’1 занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π2. Соответственно, S’’5’’1 – натуральная величина S5.
3. Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S16, S65, S54, S43, S32, S21. Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S16 длина S1=S’’1’’, S6=S’’6’’1, 16=1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

1. Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
2. Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’1, SC=S’’C’’1.
3. Находим положение точек A, B, C на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки SA=S’’A’’, SB=S’’B’’1, SC=S’’C’’1.
4. Соединяем точки A, B, C плавной линией.

Пример решения геометрической задачи

Дан круглый прямой конус. Известно, что угол его боковой развертки равен 120o. Необходимо найти радиус и образующую этой фигуры, если известно, что высота h конуса равна 10 см.

Задача не является сложной, если вспомнить, что круглый конус — это фигура вращения прямоугольного треугольника. Из этого треугольника следует однозначная связь между высотой, радиусом и образующей. Запишем соответствующую формулу:

Вторым выражением, которое следует использовать при решении, является формула для угла φ:

Таким образом, мы имеем два уравнения, связывающих две неизвестные величины (r и g).

Выражаем из второй формулы g и подставляем результат в первую, получаем:

Угол φ = 120o в радианах равен 2*pi/3. Подставляем это значение, получаем конечные формулы для r и g:

Остается подставить значение высоты и получить ответ на вопрос задачи: r ≈ 3,54 см, g ≈ 10,61 см.

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

      Введем следующие обозначения

V	объем (объем )
Sбок	площадь (площадь )
Sполн	площадь (площадь )
Sосн	площадь
Sверх.осн	площадь верхнего
Sнижн.осн	площадь нижнего

V объем (объем )

Sбок площадь (площадь )

Sполн площадь (площадь )

Sосн площадь

Sверх.осн площадь верхнего

Sнижн.осн площадь нижнего

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности конуса, а также формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченного конуса.

Фигура	Рисунок	Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности
		Sосн = πr2, Sбок= πrl, Sполн = πr2 + πrl, гдеr – ,l  – длина h –
		Sбок= π (r + r1)l , гдеh – ,r – ,r1 – , l – длина

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: Sосн = πr2, Sбок= πrl, Sполн = πr2 + πrl, гдеr – ,l – длина h –

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: , Sбок= π (r + r1)l , гдеh – ,r – ,r1 – , l – длина

      Замечание 3. Формула для вычисления объема конуса

может быть получена из формулы объема правильной n – угольной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      Замечание 4. Формула для вычисления объема усеченного конуса

может быть получена из формулы объема правильной усеченной n – угольной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.